Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

На острове Баал живут только люди и странные обезьяны, которых невозможно отличить от людей. Любой из жителей острова говорит или только правду, или только неправду. Кто следующие двое? А: «Б лживая обезьяна. Я человек.» Б: «А сказал правду.» Задача №1

2 слайд

Описание слайда:

РЕШЕНИЕ: Двойное утверждение, использованное А, верно только при условии, что обе его части верны. Предположим, что В – честный человек, в таком случае А также честен (именно так говорит В), поэтому В – лжец, как утверждает А, что противоречит нашему предположению. Поэтому В – лжец. Прекрасно это осознавая, В сказал, что А – тоже лжец. Таким образом, первое утверждение А является ложью, и В – не лживая обезьяна. Однако В, как мы уже выяснили, – точно лжец, а это значит, что В не обезьяна. В – нечестный человек. Второе утверждение А показывает нам, что А – обезьяна. Следовательно, А – лживая обезьяна.

3 слайд

Описание слайда:

Задача №2 В старинном индийском храме восседали три богини: Правда, Ложь и Мудрость. Правда говорит только правду, Ложь всегда лжёт, а Мудрость может сказать правду или солгать. Паломник спросил у богини слева: «Кто сидит рядом с тобой?» «Правда.», -- ответила та. Тогда он спросил у средней: «Кто ты?» «Мудрость.», -- отвечала она. Наконец он спросил у той, что справа: «Кто твоя соседка?» «Ложь», -- ответила богиня. И после этого паломник точно знал, кто есть кто.

4 слайд

Описание слайда:

Решение: Обозначим каждую богиню определённой буквой. В нашем распоряжении следующие утверждения: 1. А говорит, что В – Правда. 2. В говорит, что она Мудрость. 3. С говорит, что В – Ложь. Первое предложение подсказывает нам, что А не Правда. Второе предложение также было сказано не Правдой, следовательно Правда – С. Откуда ясно, что последнее предложение верно: В – Ложь, а А – Мудрость.

5 слайд

Описание слайда:

Задача № 3 На столе три монеты: золотая, серебряная и медная. Если вы произнесёте утверждение, которое окажется правдой – Вам дадут монету. За неправду Вам не дадут ничего. Что надо сказать, чтобы получить золотую монету?

6 слайд

Описание слайда:

Решение: «Ты дашь мне ни медную и не серебряную монету». Если это утверждение верно, то мне дадут золотую монету. Если моё утверждение неверно, тогда верным должно быть обратное утверждение, а именно: «Ты дашь мне либо медную, либо серебряную монету». Но тогда это противоречит условиям задания – за ложь монеты давать не должны. Следовательно, первоначальное утверждение верно.

7 слайд

Описание слайда:

Задача № 4 Вы подъехали к развилке двух дорог. Одна из них ведёт в Лжегород, где находится универсальный магазин разгадок Вселенной, которые отпускают за бесплатно. Другая дорога ведёт в Правдоград, где есть бензоколонка. Жители Лжегорода всегда лгут, а жители Правдограда всегда говорят правду и только правду. На развилке дежурят по одному представителю от каждого из двух городов. Вы не знаете, кто из них откуда. Как узнать, которая дорога ведёт в Правдоград, если вам разрешено задать только один вопрос только одному представителю?

8 слайд

Описание слайда:

Решение: Существует несколько вариантов подобных вопросов.Косвенный вопрос: «Эй ты! Что скажет тот человек, если я у него спрошу, куда ведет эта дорога?». Ответ на такой вопрос всегда будет противоречить тому, куда дорога ведет в действительности. Вопрос с подковыркой: «Эй ты! Тот человек, что дежурит у дороги, ведущей в Правдоград, он родом оттуда?». Ответ будет положительным только в двух случаях: либо это житель Правдограда, стоящий на дороге в Правдоград, либо житель Лжегорода, стоящий на той же самой дороге. В обоих случаях можно быть уверенным, что при утвердительном ответе это дорога действительно приведёт Вас в Правдоград. Таким же образом можно сформулировать и вопрос с отрицанием. Или же другой, мудрёный вопрос: «Эй ты! Что бы ты сказал, если бы я спросил тебя...?». Житель Правдограда всегда ответит правду, а житель Лжеграда соврёт. Однако благодаря формулировке вопроса лжецу придется соврать два раза, а то есть сказать правду.

9 слайд

Описание слайда:

Задача №5 Петр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: «Вчера был один из дней, когда я лгу». В какой день они сказали это?

10 слайд

Описание слайда:

Решение: Это был четверг. В этот день Петр правдиво сказал, что вчера (т.е. в среду) он лгал, а Иван солгал насчет того, что вчера (т.е. в среду) он лгал, ведь по условию в среду он говорит правду.

11 слайд

Описание слайда:

Задача №6 Леди Кэт сказала: «Я самая прекрасная. Мэри не самая прекрасная». Джейн сказала: «Кэт не самая прекрасная. Я самая прекрасная». А Мэри просто сказала: «Я самая прекрасная». Белый рыцарь предположил, что все утверждения прекраснейшей из девушек истинны, а все утверждения остальных дам ложны. Исходя из этого, определите прекраснейшую из дам.

123. Какой знак надо поставить между числами 5 и 6, чтобы получившееся число было больше 5, но меньше 6?

5 < 5? 6 < 6

124. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время мачта один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?

125. – Сколько лет твоему отцу? – спрашивают мальчика.

– Столько же, сколько и мне, – невозмутимо отвечает он.

– Как такое возможно?

– Очень просто: мой отец стал моим отцом только тогда, когда я родился, ведь до моего рождения он не был моим отцом, значит моему отцу столько же лет, сколько и мне.

Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

126. В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

127. Петр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: "Вчера был один из дней, когда я лгу". Какой день был вчера?

128. Трехзначное число записали цифрами, а потом – словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число?

129. В равенстве, составленном из спичек, допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным?

130. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

131. Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни одного дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, то было бы время. Следовательно, если бы не было времени, оно было бы. В чем заключается причина данного недоразумения?

132. В каждой из двух корзин 12 яблок. Настя взяла несколько яблок из первой корзины, а Маша взяла из второй столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?

133. У одного фермера восемь свиней: три розовые, четыре бурые и одна черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, еще одна свинья такой же масти, как и ее собственная? (Задача-шутка).

134. На двух чашах рычажных весов находятся два одинаковых ведра, наполненные водой. Уровень воды в них одинаков. В одном ведре плавает деревянный брусок. Будут ли весы находиться в равновесии?

135. Если один рабочий может построить дом за 5 дней, значит, 5 рабочих построят его за один день. Следовательно, если один корабль пересекает Атлантический океан за 5 дней, то 5 кораблей пересекут его за один день. Верно ли это утверждение? Если нет, то в чем заключается допущенная в нем ошибка?

136. Возвращаясь из школы, Петя и Саша зашли в магазин, где они увидели большие весы.

– Давай взвесим наши портфели, – предложил Петя.

Весы показали, что Петин портфель весит 2 кг, а вес Сашиного портфеля оказался равным 3 кг. Когда мальчики взвесили два портфеля вместе, весы показали 6 кг.

– Как же так, – удивился Петя, – ведь 2 + 3 не равно 6.

– Ты что не видишь? – ответил ему Саша, – у весов сдвинута стрелка.

Каков вес портфелей на самом деле?

137. Как разместить шесть кружочков на плоскости таким образом, чтобы получилось три ряда по три кружочка в каждом ряду?

138. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

139. Как от куска материи в 2/3 м отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

140. На прямоугольном листе бумаги начерчено 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга (см. рисунок). Прямоугольник разрезают по прямой АВ, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. После этого сдвигают обе половины так, как показано на рисунке. Как то ни удивительно, но вместо 13 палочек будет 12. Куда и каким образом исчезла одна палочка?

141. Часто говорят, что композитором или художником, или писателем, или ученым надо родиться. Верно ли это? Действительно ли композитором (художником, писателем, ученым) надо родиться? (Задача-шутка).

142. Для того, чтобы видеть, совсем не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. А поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, то оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения. Верно ли это утверждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

143. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать только на вопросы "да" и "нет". Сколько вопросов ему надо задать, чтобы узнать его возраст?

144. Сколько кубиков изображено на этом рисунке?

145. Три теленка – сколько ног? (Задача-шутка).

146. Один человек, попавший в неволю, рассказывает следующее. "Моя темница находилась в верхней части замка. После многодневных усилий мне удалось выломать один из прутьев в узком окне. В образовавшееся отверстие можно было пролезть, но расстояние до земли не оставляло никаких надежд просто спрыгнуть вниз. В углу темницы я обнаружил забытую кем-то веревку. Однако она оказалась слишком короткой, чтобы можно было спуститься по ней. Тогда я вспомнил, как один мудрец удлинял слишком короткое для него одеяло, обрезав часть его снизу и пришив ее сверху. Поэтому я поспешил разделить веревку пополам и снова связать две образовавшиеся части. Тогда она стала достаточно длинной, и я благополучно спустился по ней вниз". Каким образом рассказчику удалось это сделать?

147. Собеседник просит Вас задумать любое трехзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось еще одно трехзначное число. Например, 528–825, 439–934 и т. п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

148. Семеро шли – семь рублей нашли. Если бы не семеро, а трое пошли, то много бы нашли? (Задача-шутка).

149. Как разделить рисунок, состоящий из семи кружочков, тремя прямыми линиями на семь частей таким образом, чтобы в каждой части находился один кружочек?

150. Земной шар стянули обручем по экватору. Потом длину обруча увеличили на 10 м. При этом между поверхностью Земного шара и обручем образовался небольшой зазор.

Сможет ли человек пролезть в этот зазор? (Длина земного экватора приблизительно равна 40 000 км).

151. У портного есть кусок материи в 16 метров длиной, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

152. Из 12 спичек построено четыре равных квадрата. Как переложить три спички таким образом, чтобы получилось три равных квадрата?

153. Колесо с лопастями установлено около дна реки, причем оно может свободно вращаться. Если течение реки направлено слева направо, то в какую сторону будет вращаться колесо? (См. рисунок).

– Сколько лет твоему отцу? – спрашивают мальчика.

– Столько же, сколько и мне, – невозмутимо отвечает он.

– Как такое возможно?

– Очень просто: мой отец стал моим отцом только тогда, когда я родился, ведь до моего рождения он не был моим отцом, значит, моему отцу столько же лет, сколько и мне.

Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

77. В мешке 24 килограмма гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 килограммов гвоздей?

78. Петр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Какой день был вчера?

79. Трехзначное число записали цифрами, а потом – словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число?

80. В равенстве, составленном из спичек:

Х I I I = V I I–V I,

допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным?

81. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

82. Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни одного дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, то было бы время. Следовательно, если бы не было времени, оно было бы. В чем заключается причина данного недоразумения?

83. В каждой из двух корзин по 12 яблок. Настя взяла несколько яблок из первой корзины, а Маша взяла из второй столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?

84. У одного фермера 8 свиней: 3 розовые, 4 бурые и 1 черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, еще одна свинья такой же масти, как и ее собственная?

85. Единственный сын отца сапожника – плотник. Кем приходится сапожник плотнику?

86. Если 1 рабочий может построить дом за 5 дней, значит, 5 рабочих построят его за 1 день. Следовательно, если 1 корабль пересекает Атлантический океан за 5 дней, то 5 кораблей пересекут его за 1 день. Верно ли это утверждение? Если нет, то в чем заключается допущенная в нем ошибка?

87. Возвращаясь из школы, Петя и Саша зашли в магазин, где они увидели большие весы.

– Давай взвесим наши портфели, – предложил Петя.

Весы показали, что Петин портфель весит 2 килограмма, а вес Сашиного портфеля оказался равным 3 килограммам. Когда мальчики взвесили два портфеля вместе, весы показали 6 килограммов.

– Как же так? – удивился Петя. – Ведь 2 плюс 3 не равно 6.

– Ты что, не видишь? – ответил ему Саша. – У весов сдвинута стрелка.

Каков вес портфелей на самом деле?

88. Как разместить 6 кружочков на плоскости таким образом, чтобы получилось 3 ряда по 3 кружочка в каждом ряду?

89. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

90. Как от куска материи в 2/3 м отрезать 1/2 м без помощи каких-либо измерительных приборов?

91. Часто говорят, что композитором (или художником, или писателем, или ученым) надо родиться. Верно ли это? Действительно ли композитором (художником, писателем, ученым) надо родиться?

92. Для того чтобы видеть, совсем не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. А поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, то оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения. Верно ли это утверждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

93. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать только на вопросы «да» и «нет». Сколько вопросов ему надо задать, чтобы узнать его возраст?

94. Сколько кубиков изображено на рис. 51?

95. Три теленка – сколько ног?

96. Один человек, попавший в неволю, рассказывает следующее: «Моя темница находилась в верхней части замка. После многодневных усилий мне удалось выломать один из прутьев в узком окне. В образовавшееся отверстие можно было пролезть, но расстояние до земли было слишком велико, чтобы просто спрыгнуть вниз. В углу темницы я обнаружил забытую кем-то веревку. Однако она оказалась слишком короткой, чтобы можно было спуститься по ней. Тогда я вспомнил, как один мудрец удлинял слишком короткое для него одеяло, обрезав часть его снизу и пришив ее сверху. Поэтому я поспешил разделить веревку пополам и снова связать две образовавшиеся части. Тогда она стала достаточно длинной, и я благополучно спустился по ней вниз». Каким образом рассказчику удалось это сделать?

97. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось еще одно трехзначное число. Например, 528–825, 439–934 и т. п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

98. Семеро шли – семь рублей нашли. Если бы не семеро, а трое пошли, то много бы нашли?

99. Разделите рисунок, состоящий из семи кружочков, тремя прямыми линиями на семь частей таким образом, чтобы в каждой части находился один кружочек (рис. 52).

100. Земной шар стянули обручем по экватору. Потом длину обруча увеличили на 10 метров. При этом между поверхностью Земного шара и обручем образовался небольшой зазор. Сможет ли человек пролезть в этот зазор? Длина земного экватора приблизительно равна 40 000 километрам.

1. Из первого мешка надо вытащить одну монету, из второго – две, из третьего – три, и т. д. (из десятого мешка – все 10 монет). Далее следует один раз взвесить все эти монеты вместе. Если бы среди них не было фальшивых монет, т. е. все они были бы весом по 10 граммов, то общий их вес составил бы 550 граммов. Но поскольку среди взвешиваемых монет есть фальшивые (по 11 граммов), то их общий вес будет больше 550 граммов. Причем, если он окажется 551 грамм, то фальшивые монеты находятся в первом мешке, ведь из него мы взяли одну монету, которая и дала один лишний грамм. Если общий вес будет 552 грамма, значит, фальшивые монеты находятся во втором мешке, ведь из него мы взяли две монеты. Если общий вес будет 553 грамма, значит, фальшивые монеты находятся в третьем мешке, и т. д. Таким образом с помощью только одного взвешивания можно точно установить, в каком мешке находятся фальшивые монеты.

2. Надо взять печенье из банки с надписью «Овсяное печенье» (можно из любой другой). Так как банка надписана неправильно, то это будет песочное печенье или шоколадное. Допустим, вы достали песочное. После этого надо поменять местами этикетки «Овсяное печенье» и «Песочное печенье». А поскольку по условию все этикетки перепутаны, то теперь в банке с надписью «Шоколадное печенье» находится овсяное, а в банке с надписью «Овсяное печенье» находится шоколадное, значит, надо поменять местами и эти две этикетки.

3. Из шкафа нужно достать только три носка. При этом возможно всего 4 варианта: все три носка белые; все три носка черные; два носка белые, один черный; два носка черные, один белый. В каждой из этих комбинаций имеется одна совпадающая пара – белая или черная.

4. Часы пробьют 12 часов за 66 секунд. Когда часы бьют 6 часов, то от первого удара до последнего проходит 5 интервалов. Интервал составляет 6 секунд (1/5 часть от 30). Когда часы бьют 12 часов, то от первого удара до последнего проходит 11 интервалов. Так как длина интервала равна 6 секундам, то, для того чтобы пробить 12 часов, часам требуется 66 секунд: 11 · 6 = 66.

5. Пруд будет покрыт листьями лилии наполовину на 99-й день. По условию число листьев каждый день удваивается, и если на 99-й день пруд покрыт листьями наполовину, то на следующий день и вторая половина пруда будет покрыта листьями лилии, т. е. полностью пруд покроется ими через 100 дней.

6. Путь, пройденный на пятый этаж (4 пролета) пассажирским лифтом, вдвое больше пути, пройденного на третий этаж (2 пролета) грузовым. Поскольку пассажирский лифт идет в 2 раза быстрее, чем грузовой, то они пройдут свои пути одновременно.

7. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Количество гусей в стае – это х . «Вот если бы нас было столько, сколько сейчас (т. е. х ), – сказали гуси, – да еще столько (т. е. х ), да еще пол-столько (т. е. 1/2х ), да еще четверть-столько (т. е. 1/4х ), да еще ты (т. е. 1 гусь), вот тогда нас было бы 100 гусей». Получается следующее уравнение:

Произведем сложение в левой части равенства:

Итак, в стае было 36 гусей.

8. Ошибка заключается в возведении каждой части равенства -2 = 2 в квадрат. Создается видимость, что над каждой частью равенства совершается одна и та же операция (возведение в квадрат), на самом же деле над каждой частью равенства совершаются различные операции, ведь левую часть мы умножаем на -2, а правую умножаем на 2.

9. Утверждение, что атомное ядро меньше самого атома в 2 раза, конечно же, неверно: ведь 10-12 см меньше, чем 10-6 см не в 2 раза, а в миллион раз.

10. Самолет в полете «держится» на воздухе, поэтому долететь на самолете до Луны невозможно, ведь воздуха в открытом космосе нет.

11. Иголка сделана из стали, а монета из меди. Сталь намного тверже меди, и поэтому иголкой вполне можно проколоть монету. Только вручную это сделать невозможно. Если же попытаться забить иголку в монету молотком, то тоже ничего не получится: площадь острого конца иголки настолько мала, что ее кончик будет, вибрируя, скользить по поверхности монеты. Чтобы иголка была устойчивой, надо вбить ее молотком в монету через кусок мыла, парафина или дерева: этот материал придаст иголке неизменное и нужное направление, и в этом случае она свободно пройдет через медную монету.

12. В стакан можно поместить более тысячи булавок. В этом случае ни капли воды из него не выльется, но над краями стакана образуется небольшая водяная выпуклость, «горка». По закону Архимеда тело, погруженное в воду, вытесняет объем воды, равный объему тела. Объем одной булавки настолько мал, что объем водяной «горки» над поверхностью стакана равен объему более тысячи булавок.

13. На портрете изображен сын Иванова. Для решения задачи можно составить простую схему:

14. Надо обратиться к любому из воинов со следующим вопросом: «Если я спрошу тебя, этот ли выход ведет на свободу, то ты ответишь мне „да“?» При такой постановке вопроса тот воин, который все время лжет, будет вынужден говорить правду. Допустим, вы, показывая ему на выход к свободе, говорите: «Если я спрошу тебя, этот ли выход ведет на свободу, то ты ответишь мне „да“?» Правдой в этом случае будет, если он ответит «нет», но ему ведь надо солгать и поэтому он вынужден сказать «да».

15. Вор нижние концы веревок связал вместе. По одной из них он полез к потолку, обрезал вторую веревку на расстоянии примерно 30 сантиметров от потолка и позволил ей упасть вниз. Из куска второй веревки, оставшегося висеть, он связал петлю. Затем, ухватившись за петлю, он перерезал первую веревку и просунул ее в петлю.

После этого он спустился по двойной веревке вниз и вытащил веревку из петли.

16. Если таксист глух, как он понял, куда везти девушку? И еще: как он понял, что она вообще что-то говорит?

17. Вода никогда не достигнет иллюминатора, потому что лайнер поднимается вместе с водой.

18. Он рассуждал так: «Каждый из нас может думать, что его собственное лицо чистое. Б. уверен, что его лицо чистое, и смеется над испачканным лбом В. Но если бы Б. видел, что мое лицо чистое, он был бы удивлен смеху В., так как в этом случае у В. не было бы повода для смеха. Однако Б. не удивлен, значит, он может думать, что В. смеется надо мной. Следовательно, мое лицо испачкано».

19. Нужно сдвинуть верхнюю спичку, образовав крохотный квадрат в центре фигуры.

20. Точка на тропинке, которую путешественник проходит в одно и то же время суток как во время подъема, так и во время спуска, существует (А ). В этом легко убедиться с помощью следующей схемы (рис. 53).

Ось х – это время суток, а ось у – это высота подъема. Кривые линии – это графики подъема и спуска соответственно. Точка их пересечения – как раз та самая, которую проходит путешественник в одно и то же время суток и на подъеме, и на спуске.

21. Статуи надо расположить следующим образом (рис. 54).

22. См. рис. 55.

23. Обмен выгоден математику и невыгоден торговцу, так как количество денег, которые выплачивает торговец математику, пусть даже ничтожно малое вначале, увеличивается в геометрической прогрессии, а деньги, которые платит математик торговцу, увеличиваются в арифметической прогрессии. Через 30 дней математик отдаст торговцу около 50 000 рублей, а торговец будет должен математику более 10 000 000 рублей.

24. Новый год и раньше (т. е. по старому стилю) встречали 1 января. Однако старое 1 января (старый Новый год) сейчас, т. е. по новому стилю, попадает на 14 января, поэтому никакого противоречия и недоразумения здесь нет. В условии задачи создается видимость противоречия за счет того, что в одних и тех же словах смешиваются различные понятия: Новый год по новому стилю и Новый год по старому стилю. И действительно, Новый год по новому стилю в старом стиле приходился бы на 19 декабря, а Новый год по старому стилю в новом стиле приходится на 14 января.

25. См. рис. 56.

26. См. рис. 57.

27. Человек, который стоит слева, будь он Правдолюбом, на вопрос «Кто стоит рядом с тобой?» не мог бы ответить то, что ответил – «Правдолюб». Значит, слева не Правдолюб.

Но Правдолюб и не в центре, так как, будучи Правдолюбом, на поставленный вопрос «Кто ты?» он не мог бы ответить так, как ответил – «Дипломат».

Значит, Правдолюб стоит справа, и, следовательно, рядом с ним, т. е. в центре, находится Лжец, а слева стоит Дипломат.

28. Последовательность переливаний представлена в следующей таблице, где I – ведро объемом 10 литров; II – ведро объемом 7 литров; III – ведро объемом 3 литра.

Таким образом, разделить 10 литров вина пополам, используя два пустых ведра объемом 7 литров и 3 литра, можно с помощью 10 переливаний.

29. Катя придет к поезду первой, а Андрей, скорее всего, опоздает на поезд, так как он придет на вокзал к тому времени, когда на его часах будет 8 часов 05 минут. А на самом деле будет на 10 минут позже – в 8 часов 15 минут. Катя постарается прийти по своим часам к 7 часам 50 минутам, а на самом деле тогда будет 7 часов 45 минут.

30. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Но сначала на основе запутанного ответа динозавра следует построить следующую схему (возраст черепахи в прошлом примем за х ):

Итак, на схеме видим, что сейчас динозавру действительно в 10 раз больше лет, чем было черепахе тогда, когда динозавру было столько лет, сколько черепахе сейчас. Поскольку разница в возрасте и в прошлом, и в настоящем остается одинаковой, составим уравнение 110 – х = 10х – 110.

Преобразуем его:

110 + 110 = 10х + х ,

220 = 11х ,

х = 220: 11 = 20.

Следовательно, черепахе в прошлом было 20 лет, динозавру сейчас в 10 раз больше, т. е. 200 лет.

31. Сумма диаметров малых полуокружностей (АС ) + (CD ) + (DB ) равна диаметру большой полуокружности АВ , но ввиду того, что длина полуокружности равна половине произведения числа π на диаметр, пройденные автомобилями расстояния будут совершенно одинаковыми. Следовательно, отставание милицейского автомобиля от угонщика не уменьшится, и погоня на этом участке не увенчается успехом.

32. Для решения этой задачи надо составить простую схему (обозначим нынешний возраст Кати как х ):

Из схемы следует, что самая старшая – Катя, далее следуют по возрасту Оля и Настя.

33. Все правдивые верно утверждали, что все написанное – правда, но и все лжецы ложно утверждали, что все написанное ими – правда. Таким образом, все 35 сочинений оказались с утверждением о правдивости написанного.

34. У каждого человека 2 родителя, 4 бабушки и дедушки, 8 прабабушек и прадедушек, 16 прапрабабушек и прапрадедушек. Узнаем, сколько было прапрабабушек и прапрадедушек у всех прапрабабушек и прапрадедушек каждого из нас: 16 · 16 = 256. Этот результат получается, конечно же, если исключить случаи кровосмешения, т. е. браки между различными родственниками.

Если принять в расчет, что одно поколение – это примерно 25 лет, то восемь поколений (о которых шла речь в условии задачи) соответствуют 200 годам, т. е. 200 лет назад каждые 256 человек на Земле были родственниками каждого из нас. За 400 лет число наших предков составит: 256 · 256 = 65 536 человек, т. е. 400 лет назад у каждого из нас было 65 536 живущих на планете родственников. Если же «открутить» историю на 1000 лет назад, то получится, что все население Земли того времени являлось родственниками каждому из нас. Значит, действительно все люди – братья.

35. Можно попытаться, используя инерцию бутылки, резким движением выдернуть платок из-под нее.

Но, скорее всего, ничего не получится: положение бутылки слишком неустойчиво. Однако вспомним, что сила трения уменьшается при вибрациях. Кулаком одной руки надо равномерно и несильно стучать по столу недалеко от бутылки, а другой рукой – аккуратно тянуть платок. При определенной частоте и силе ударов по столу платок начнет плавно выскальзывать из-под бутылки. При этом важно обратить внимание на то, чтобы у края платка была не очень большая кромка: она, как правило, сбивает бутылку в последний момент. Поэтому лучше, чтобы платок вообще был без кромки.

36. С помощью единственной черточки один из знаков плюс превратится в цифру четыре, в результате чего получается равенство:

Вот эта черточка: → 5"+ 5 + 5 = 550.

37. В этом рассуждении в одних и тех же словах смешиваются различные математические операции: деление на два и умножение на два. На этом смешении и основан подвох в виде внешне правильного доказательства ложной мысли.

38. См. рис. 58.

39. Номер для квартиры.

40. Нельзя, так как через 72 часа, т. е. через трое суток, будет опять 12 часов ночи, а солнце ночью не светит (если, конечно, дело не происходит за Полярным кругом в полярный день).

41. У хозяйки 25 рублей, у мальчика 2 рубля. Всего 27 рублей, значит, те 2 рубля, которые получил мальчик, входят в 27 рублей. А в условии задачи к 27 рублям прибавлено 2 рубля, которые у мальчика, и поэтому получается 29 рублей. Надо к 27 рублям не прибавлять 2 рубля, а отнимать.

42. 1 л равен 1 дм3. Следовательно, в бассейн налили 1 000 000 дм3 воды, или 1000 м3 воды (так как 1 м равен 10 дм). Зная площадь бассейна (1 га = 10 000 м2) и объем налитой в него воды, легко вычислить его глубину:

В бассейне глубиной 10 сантиметров плавать невозможно.

43. Для сравнения указанных величин надо привести квадратный корень и кубический к корню одной степени. Это может быть корень шестой степени. Соответственно изменятся и подкоренные выражения. Получится

Корень шестой степени из девяти немного больше такого же корня из восьми, следовательно,

больше, чем

44. Обозначим стоимость линейки как х . Тогда у одного мальчика имеется денег (х – 24) копеек, а у другого (х – 2) копеек. При сложении своих денег они все равно не смогли купить линейку. Составим простое неравенство:

(x – 24) + (x – 2) < x.

Преобразуем его:

x – 24 + х – 2 < х ,

2х – 26 < х ,

2х – х < 26,

х < 26.

Итак, линейка стоит меньше 26 копеек, но больше 24 копеек, так как по условию у одного мальчика не хватает до ее стоимости 24 копеек. Линейка стоит 25 копеек.

45. Надо спросить любого депутата: «Вы консерватор?» Если он ответил «да», то сегодня четное число, а если «нет», то нечетное. По четным числам консерваторы скажут правдивое «да», а либералы, говоря неправду, тоже произнесут «да». По нечетным числам, наоборот, консерваторы, отвечая на вопрос, скажут «нет», но либералы, говорящие в эти дни только правду, тоже скажут «нет».

46. На первый взгляд кажется, что бутылка стоит 1 рубль, а пробка – 10 копеек, но тогда бутылка дороже пробки на 90 копеек, а не на 1 рубль, как по условию. На самом деле, бутылка стоит 1 рубль 05 копеек, а пробка стоит 5 копеек.

47. Может показаться, что Оля проходит 30 ступенек – в 2 раза меньше, чем Катя (так как она живет в 2 раза ниже). На самом деле это не так. Когда Катя поднимается на четвертый этаж, она преодолевает 3 лестничных пролета между этажами. Значит, между двумя этажами 20 ступенек: 60: 3 = 20. Оля поднимается с первого этажа на второй, следовательно, она преодолевает 20 ступенек.

48. Это число 91, которое при переворачивании вверх ногами превращается в 16. При этом оно уменьшается на 75 (поскольку 91–16 = 75). При решении этой задачи надо учитывать, что при переворачивании числа его цифры не только переворачиваются, но и меняются местами.

49. На развернутом листе будет 128 дырок. Надо принять во внимание, что при каждом складывании листа количество дырок удваивается.

50. Три человека: дед, отец и сын – это два отца и два сына – поймали трех зайцев, каждый по одному.

51. Эффект этой задачи-фокуса заключается в том, что увеличение любого трехзначного числа до шестизначного путем его дублирования равносильно умножению этого трехзначного числа на 1001. Кроме того, произведение чисел 13, 11 и 7 также равно 1001. Следовательно, если получившееся шестизначное число разделить в любой последовательности на эти три числа (13, 11, 7), то получится исходное трехзначное число.

52. См. рис. 59.

53. Тем или иным языком владеют 90 школьников, так как по условию 10 человек не освоили ни одного языка. Из этих 90 человек 15 не сдали немецкий, так как 75 его сдали по условию, а 7 человек не сдали английский, так как 83 его сдали по условию. Значит, всего не сдавших один из экзаменов 22 человека (поскольку 15 + 7 = 22).

Двумя языками овладели 68 школьников (90–22 = 68).

54. Любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на нее сбоку, представляет собой прямоугольник. Как известно, диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Точно так же цилиндр делится пополам эллипсом. Из наполненной водой посуды цилиндрической формы надо отливать воду до тех пор, пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где ее дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в посуде останется ровно половина воды (рис. 60).

55. Может показаться, что за указанный период стрелки часов совпадут всего 3 раза: в 12 часов дня, потом в 24 часа этого же дня и в 12 часов следующего дня. На самом же деле часовая и минутная стрелки совпадают каждый час 1 раз (когда минутная обгоняет часовую). С 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня проходит 40 часов – значит, за это время часовая и минутная стрелки должны совпасть 40 раз. Но 3 часа из этих 40 часов составляют исключение: это 12 часов одного дня, 24 часа того же дня и 12 часов другого дня. Представим себе, что в 12 часов стрелки совпали, в следующий раз минутная стрелка догонит часовую не в первом часу, а в начале второго, т. е. с 12 часов до 1 часа (неважно – дня или ночи) совпадения стрелок не происходит. Следовательно, часовая и минутная стрелки с 6 часов утра одного дня до 10 часов вечера другого дня совпадут 37 раз.

56. Скорость теплохода примем за х, а скорость реки за у. Поскольку от Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход плывет по течению, то его собственная скорость и скорость реки складываются, т. е. до Астрахани он плывет со скоростью (х + у ). На обратном пути теплоход плывет против течения, т. е. со скоростью (х – у ). Как известно, расстояние равно произведению скорости на время. Зная, что теплоход проделывал один и тот же путь за 5 и за 7 суток, можно составить уравнение:

5(х + у ) = 7(х – у ).

Преобразуем его:

5х + 5у = 7х – 7у,

7у + 5у = 7х – 5х,

12у = 2х,

6у = х.

Как видим, собственная скорость теплохода в 6 раз больше скорости реки. Значит, по течению (от Нижнего Новгорода до Астрахани) он плывет со скоростью в 7 раз большей скорости реки, ведь в этом случае скорости теплохода и реки складываются. Поскольку плот плывет только по течению, то его скорость равна скорости реки, а значит, она в 7 раз меньше, чем скорость теплохода на пути в Астрахань. Следовательно, и времени на тот же путь плот затратит в 7 раз больше, чем теплоход:

Расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани плот пройдет за 35 суток.

57. Можно с ходу ответить, что 12 куриц за 12 дней снесут 12 яиц. Однако это не так. Если три курицы за три дня несут три яйца, значит, одна курица за те же три дня несет одно яйцо. Следовательно, за 12 дней она снесет 12: 3 = 4 яйца. Если же куриц будет 12, то за 12 дней они снесут 12 · 4 = 48 яиц.

58. 111 – 11 = 100.

59. Конечно же, это рассуждение неверно. Видимость его правильности и убедительности создается за счет того, что в нем почти незаметно смешиваются и подменяются понятия «сутки» и «день», а вернее – «рабочий день». А это совершенно разные понятия, ведь сутки – это 24 часа, а рабочий день – это 8 часов. В году 365 суток, и это то время, в которое мы и работаем, и отдыхаем, и спим. В рассуждении же понятие «365 суток» подменяется понятием «365 дней», и предполагается, что все эти дни (а на самом деле – сутки) заняты только работой. Далее из этих «365 дней» вычитается время, затрачиваемое на сон, на отдых и т. д., а это время надо вычитать не из дней (причем рабочих дней), а из суток. Тогда количество дней (рабочих) останется прежним, и недоразумения не возникнет.

60. Надо взять второй наполненный стакан слева и перелить его во второй пустой стакан справа, тогда наполненные и пустые стаканы будут чередоваться (рис. 61).

61. Рассуждение неверно. Говорить о том, что большее количество рабочих сможет построить дом намного быстрее, можно только в пределах целых дней, т. е. если измерять время работы днями. Если же измерять это время часами, а тем более минутами и секундами, то данная закономерность (больше рабочих – быстрее работа) не действует. Ошибка рассуждения заключается в том, что в нем смешиваются различные понятия, обозначающие разные временные интервалы. Понятие «день» почти незаметно подменяется понятиями «час», «минута», «секунда», за счет чего и создается видимость правильности данного рассуждения.

62. Это слово «неправильно». Оно всегда так и пишется – «неправильно». Эффект этой задачи-шутки заключается в том, что в ней слово «неправильно» употребляется в двух разных смыслах.

63. Попугай действительно может повторять каждое услышанное слово, но он глух и не слышит ни одного слова.

64. Конечно же, спичку, так как без нее нельзя зажечь ни свечу, ни керосиновую лампу. Вопрос задачи двусмысленен, ведь его можно понимать то ли как выбор между свечой и керосиновой лампой, то ли как последовательность в зажигании чего-либо (сначала спичка, а уж от нее – все остальное).

65. Может показаться, что Петр будет спать 14 часов, но на самом деле он сможет поспать всего 2 часа, потому что будильник прозвонит в 9 часов вечера. Простой механический будильник не различает дня и ночи и всегда звонит в то время, на которое его поставили. Если бы это был электронный будильник компьютерного типа, который можно программировать, тогда Петру удалось бы проспать с 7 часов вечера до 9 часов утра.

66. Логическая закономерность, что отрицание истины является ложью, а отрицание лжи – истиной, действует только тогда, когда речь идет об одном и том же предмете. В данном случае речь должна идти об одном и том же предложении. Если бы это было так, то одно утверждение обязательно было бы истинным, а другое ложным, или наоборот. Но в задаче речь идет о двух разных предложениях. Поэтому нет ничего удивительного в том, что они оба являются ложными.

67. Сумма восьми цифр, равная двум, может получиться в том случае, если одна из этих цифр – двойка, а остальные – нули. Такое восьмизначное число только одно. Это 20 000 000. Но сумма восьми цифр, равная двум, также может получиться в том случае, если две из этих цифр единицы, а остальные нули. Таких восьмизначных чисел семь: 11 000 000, 10 100 000, 10 010 000, 10 001 000, 10 000 100, 10 000 010, 10 000 001.

Итак, существует восемь восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум.

68. Периметр фигуры – это сумма длин всех ее сторон. В данной фигуре 12 сторон. Если ее периметр равен 6, то одна сторона равна 6: 12 = 0,5. Фигура состоит из 5 одинаковых квадратов, со стороной 0,5.

Площадь одного квадрата равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, площадь всей фигуры равна 0,25 · 5 = 1,25.

69. Затруднение при решении может возникнуть из-за необычно сформулированного условия задачи. Сама же задача очень проста. Требуется всего лишь записать математически то, что выражено в ней словами, т. е. распутать ее словесное условие. Сумма квадратов чисел 2 и 3 – это 22 + 32. Куб суммы квадратов чисел 2 и 3 – это (22 + 32)3. Сумма кубов этих чисел – это 23 + 33. Квадрат этой суммы – это (23 + 33)2. Надо найти разность первого и второго:

(22 + З2)3 – (23 + З3)2 = (4 + 9)3 – (8 + 27)2 = 133 – 352 = 2197–1225 = 972.

70. Это число 2. Половина этого числа равна 1, а половина от половины этого числа (т. е. единицы) равна 0,5, т. е. тоже половине.

71. Рассуждение неверно. Совершено не обязательно, что Саша Иванов со временем побывает на Марсе. Внешняя правильность этого рассуждения создается за счет употребления в нем одного слова человек в двух разных смыслах: в широком (абстрактный представитель человечества) и в узком (конкретный, данный, именно этот человек).

72. Как видим по условию, для получения оранжевой краски требуется в 3 раза больше желтой краски, чем красной: 6: 2 = 3. Значит, из имеющегося количества желтой и красной красок надо взять в 3 раза больше желтой краски, чем красной, т. е. 3 грамма желтой и 1 грамм красной. Можно получить 4 грамма оранжевой краски.

73. См. рис. 62.

Можно убрать и другие 2 спички.

74. Надо поставить запятую: 5 < 5, 6 < 6.

75. Сначала надо выяснить, каков общий возраст всех игроков команды: 22 · 11 = 242. Возраст выбывшего игрока примем за х. После того как он выбыл, общий возраст игроков команды стал равен 242 – х. Поскольку игроков стало 10 и их средний возраст известен (21 год), можно составить следующее уравнение:

(242 – х ): 10 = 21,

242 – х = 210,

х = 242–210 = 32.

Выбывшему игроку 32 года.

76. Рассуждение, конечно же, неверно. Эффект его внешней правильности достигается благодаря употреблению понятия «возраст отца» в двух разных смыслах: возраст отца как возраст человека, который является этим отцом, и возраст отца как число лет отцовства. Кстати, во втором значении понятие возраст, как правило, не употребляется: обычно под словосочетанием возраст отца понимается возраст этого человека, а не что-либо иное.

77. Сначала надо разделить 24 килограмма гвоздей на две равные части по 12 килограммов, уравновесив их на чашах весов. Затем так же разделить 12 килограммов гвоздей на две равные части по 6 килограммов. После этого отложить одну часть, а другую разделить таким же способом на части по 3 килограмма. Наконец к шестикилограммовой части гвоздей добавить эти 3 килограмма. В результате получится 9 килограммов гвоздей.

78. Это был четверг. В этот день Петр правдиво сказал, что вчера (т. е. в среду) он лгал, а Иван солгал насчет того, что вчера (т. е. в среду) он лгал, ведь по условию в среду он говорит правду.

79. Это число 147.

Условия задач

1. В каждом из 10 мешков находится по 10 монет. Каждая монета весит 10 г. Но в одном мешке все монеты фальшивые – не по 10 г., а по 11 г. Как с помощью только одноразового взвешивания определить, в каком мешке находятся фальшивые монеты (все мешки пронумерованы от 1 до 10)? Мешки можно открывать и вытаскивать любое количество монет из каждого.

2. На всех трёх железных банках с печеньем перепутаны этикетки: «Овсяное печенье», «Песочное печенье» и «Шоколадное печенье». Банки закрыты, и вы можете взять только одно печенье из одной (любой) банки, а потом правильно расположить этикетки. Как это сделать?

3. В вашем шкафу лежит 22 синих носка и 35 чёрных носков.

Вам надо в полной темноте взять из шкафа пару носков. Сколько носков нужно взять, чтобы с гарантией получить совпадающую пару?

4. Старинным часам требуется 30 с, чтобы пробить 6 ч. За сколько секунд часы пробьют 12 ч?

5. В пруду растёт один лист лилии. Каждый день число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями лилии наполовину, если известно, что полностью он будет покрыт ими через 100 дней?

6. Пассажирский лифт поднимается на пятый этаж со скоростью вдвое большей, чем грузовой лифт, который идёт до третьего этажа.

Какой из этих двух лифтов придёт раньше: грузовой на третий этаж или пассажирский на пятый, если стартовали они с первого этажа одновременно?

7. Летит гусь. Навстречу ему – стая гусей. «Здравствуйте, 100 гусей,» – говорит он им. Они отвечают: «Нас не 100 гусей; вот если бы нас было столько, сколько сейчас, да ещё столько, да ещё пол-столько и четверть-столько, да ещё ты, вот тогда нас было бы 100 гусей».

Сколько гусей летит в стае?

8. Докажем, что 3 = 7. Известно, что если над каждой частью равенства проделать одну и ту же операцию, то равенство останется неизменным. Отнимем у каждой части нашего равенства по пять: 3 – 5 = 7 – 5. Получится: – 2 = 2. Теперь возведём каждую часть равенства в квадрат: (– 2) 2 = 2 2 . Получится: 4 = 4, следовательно: 3 = 7. Найдите ошибку в этом рассуждении.

9. Как известно, в любом атоме есть ядро, размеры которого меньше размеров самого атома. Если размер атомного ядра равен 10 –12 см, а размер всего атома равен 10 –6 см, следовательно, ядро по размеру меньше самого атома в 2 раза: 12: 6 = 2. Верно ли это утверждение?

Если нет, то во сколько раз атомное ядро меньше атома?

10. Можно ли на самолёте долететь до Луны? Надо принять во внимание, что самолёты снабжены реактивными двигателями, как и космические ракеты, и работают на том же топливе, что и они.

11. Можно ли иголкой проколоть пятидесятикопеечную монету?

12. Стандартный стакан (200 г) наполнен водой до краёв. Сколько булавок можно в него накидать, чтобы из стакана не вылилось ни капли воды?

13. У Иванова в кабинете висит портрет. Иванова спрашивают: «Кто изображён на этом портрете?» Иванов путано отвечает:

«Отец изображённого на портрете есть единственный сын отца говорящего». Кто изображён на портрете?

14. Миссионер попал в плен к дикарям, которые посадили его в темницу и сказали: «Отсюда только два выхода – один на свободу, другой к гибели; выбраться тебе помогут два воина – один говорит всегда правду, другой всегда лжёт, но неизвестно, кто из них лжец, а кто правдолюбец; ты можешь задать любому из них только один вопрос». Какой вопрос надо задать, чтобы выбраться на свободу?

15. В монастыре висят две верёвки из редкостного шёлка. Они прикреплены к середине потолка на расстоянии одного метра друг от друга и достигают пола. Вор-акробат хочет украсть как можно больше верёвки. Высота потолка 20 м. Вор знает, что если он спрыгнет или упадёт с высоты более 5 м, то не сможет выбраться из монастыря. Поскольку лестницы у него нет, ему остаётся только лезть по верёвке. Он нашёл способ украсть обе верёвки почти целиком. Как это сделать?

16. Девушка ехала в такси. По пути она так много болтала, что шофёр занервничал. Он сказал ей, что очень сожалеет, но не слышит ни слова, – поскольку его слуховой аппарат не работает, он глух как пробка. Девушка замолчала, но, когда они доехали до места, поняла, что водитель над ней подшутил. Как она догадалась?

17. Вы находитесь в каюте стоящего на якоре океанского лайнера. В полночь вода была на 4 м ниже иллюминатора и поднималась на 0,5 м/ч. Если эта скорость удваивается каждый час, то за какое время вода достигнет иллюминатора?

18. Три путешественника прилегли отдохнуть в тени деревьев и уснули. Пока они спали, шутники вымазали углём их лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, они начали смеяться, причём каждому из них казалось, что двое других смеются друг над другом.

Внезапно один из них перестал смеяться, так как сообразил, что его собственный лоб тоже испачкан. Как он об этом догадался?

19. Сдвинув только одну их четырёх спичек, сделайте квадрат (рис. 45). Спички нельзя ни гнуть, ни ломать:

20. С восходом солнца путешественник начал подниматься по узкой, извилистой тропинке на вершину горы. Он шёл то быстрее, то медленнее, часто останавливаясь, чтобы отдохнуть. Проделав длинный путь, он достиг вершины только к закату солнца. Проведя ночь на вершине, с восходом солнца он отправился в обратный путь по той же тропинке. Спускался он также с неравномерной скоростью, неоднократно отдыхая по дороге, и к закату солнца достиг подножия горы. Понятно, что средняя скорость спуска превышала среднюю скорость подъёма. Есть ли на тропинке такая точка, которую путешественник проходил в одно и то же время суток как во время подъёма, так и во время спуска?

21. У скульптора есть 10 одинаковых статуй. Он хочет, чтобы у каждой из четырёх стен зала находилось по три статуи. Как их разместить?

22. Начертите, не отрывая карандаша от бумаги, следующие фигуры (рис. 46):

23. Один математик предложил торговцу такую сделку. Математик даёт торговцу 100 р., а торговец даёт математику взамен 1 к.

Каждый следующий день математик даёт торговцу на 100 р. больше, чем в предыдущий, т. е. на второй день он даёт ему 200 р., на третий – 300 р. и т. д. А торговец даёт математику взамен в два раза больше денег, чем в предыдущий день, т. е. на второй день он даёт ему 2 к., на третий – 4 к., на четвёртый – 8 к., на пятый – 16 к. и т. д.

Производить такой обмен они договорились в течение 30 дней. Кому из них этот обмен выгоден и почему?

24. Годовщина Октябрьской революции по старому стилю попадает на 25 октября, а по новому стилю – на 7 ноября. Таким образом, все события по старому стилю на 13 дней предшествуют тем же самым событиям по новому стилю. Значит, если по новому стилю Новый год приходится на 1 января, то по старому стилю он должен попадать на 19 декабря. Почему же мы тогда отмечаем старый Новый год 14 января?

25. Из спичек сделан рисунок рюмки, наполненной вином (рис. 47). Переставьте две спички так, чтобы на вновь получившем рисунке вино оказалось вне рюмки. При демонстрации роль вина может сыграть спичка:

26. Как расположить шесть сигарет таким образом, чтобы все они соприкасались друг с другом, т. е. чтобы каждая из них касалась пяти остальных?

27. Перед вами стоят три человека. Один из них Правдолюб (говорит всегда правду), другой Лжец (всегда лжёт), а третий Дипломат (то говорит правду, то лжёт). Вы не знаете, кто есть кто и задаёте вопрос человеку, который стоит слева:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Правдолюб, – отвечает он.

Потом вы спрашиваете человека стоящего в центре:

– Кто ты?

– Дипломат, – отвечает тот.

И, наконец, вы спрашиваете человека, который стоит справа:

– Кто стоит рядом с тобой?

– Лжец, – отвечает он.

Кто же стоит слева, кто – справа, кто – в центре?

28. В десятилитровом ведре находится 10 л вина. В вашем распоряжении два пустых ведра: одно – 7 л, а другое – 3 л. Как с помощью этих вёдер путём переливаний разделить 10 л вина на две одинаковые части по 5 л?

29. У Андрея часы отстают на 10 мин, но он уверен, что они на 5 мин спешат. Он договорился с Катей встретиться в 8 ч 00 мин у электрички, чтобы поехать за город. У Кати часы на 5 мин спешат, но она думает, что они отстают на 10 мин. Кто из них первым придёт к поезду?

30. Черепаха, которой 110 лет, спросила динозавра: «Сколько тебе лет?» Динозавр, привыкший выражаться сложно и запутанно, ответил: «Мне сейчас в 10 раз больше лет, чем было тебе тогда, когда мне было столько же лет, сколько тебе сейчас». Сколько лет динозавру?

31. Угонщик похитил автомобиль, пытаясь пробраться в пункт B , однако был обнаружен милицией в пункте A . Уходя от погони, он начал петлять, двигаясь из A в B по кривой ACDB по дугам малых полуокружностей так, как это показано стрелками (рис. 48). Преследовавшие его милиционеры стартовали из A мгновением позже и, надеясь перехватить угонщика в пункте B , отправились по дуге большой полуокружности. Догонят ли они угонщика в пункте B , если их скорости совершенно одинаковы (рис. 48)?

32. Кате вдвое больше лет, чем будет Насте тогда, когда Оле исполнится столько лет, сколько сейчас Кате. Кто из них самый старший по возрасту, а кто самый младший?

33. В одном классе ученики разделились на две группы. Одни должны были всегда говорить только правду, а другие – только неправду. Все ученики класса написали сочинение на свободную тему, а в конце сочинения каждый ученик должен был приписать одну из фраз: «Всё, здесь написанное, правда», «Всё, здесь написанное, ложь». Всего в классе было 17 правдолюбцев и 18 лжецов. Сколько сочинений с утверждением о правдивости написанного насчитал учитель при проверке работ?

34. Сколько всего прапрадедушек и прапрабабушек было у всех ваших прапрадедушек и прапрабабушек?

35. На столе лежит в разложенном виде носовой платок. На нём в центре стоит горлышком вниз пустая стеклянная бутылка. Как вытянуть платок из-под бутылки, не прикасаясь к ней?

36. В левой части равенства надо поставить только одну чёрточку (палочку) для того, чтобы равенство получилось истинным:

5 + 5 + 5 = 550.

37. Докажем, что три раза по два будет не шесть, а четыре.

Возьмём спичку, сломаем её пополам. Это один раз два. Потом возьмём половинку и сломаем её пополам. Это второй раз два. Затем возьмём оставшуюся половинку и её тоже сломаем пополам. Это третий раз два. Получилось четыре. Следовательно, три раза по два будет четыре, а не шесть. Найдите ошибку в этом рассуждении.

38. Как соединить девять точек между собой четырьмя линиями, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 49)?

В магазине хозяйственных товаров покупатель спросил:

– Сколько стоит один?

– Двадцать рублей, – ответил продавец.

– Сколько стоит двенадцать?

– Сорок рублей.

– Хорошо, дайте мне сто двенадцать.

– Пожалуйста, с вас шестьдесят рублей.

Что покупал посетитель?

40. Если в 12 ч ночи идёт дождь, то можно ли ожидать, что через 72 ч будет солнечная погода?

41. Три человека заплатили за обед 30 р. (каждый по 10 р.). После их ухода хозяйка обнаружила, что обед стоит не 30 р., а 25 р. и отправила мальчика вдогонку, чтобы вернуть 5 р. Каждый из путников взял себе по 1 р., а 2 р. они оставили мальчику. Выходит, что каждый из них заплатил не по 10 р., а по 9 р. Их было трое: 9 · 3 = 27, и ещё два рубля у мальчика: 27 + 2 = 29. Куда делся рубль?

42. В бассейн площадью 1 га налили 1 000 000 л воды. Можно ли плавать в таком бассейне?

43. Что больше: или ?

44. У одного мальчика не хватает до стоимости линейки 24 к., а у другого не хватает до этой стоимости 2 к. Когда они сложили свои деньги вместе, то всё равно не смогли купить линейку. Сколько стоит линейка?

45. В одном парламенте депутаты разделились на консерваторов и либералов. Консерваторы говорили по чётным числам только правду, а по нечётным – только неправду. Либералы, наоборот, говорили только правду по нечётным числам, а по чётным числам – только неправду. Каким образом с помощью одного вопроса, заданного любому депутату, можно точно установить, какое сегодня число: чётное или нечётное? Ответы должны быть определёнными: «да» или «нет».

46. Бутылка с пробкой стоит 1 р. 10 к. Бутылка дороже пробки на 1 р. Сколько стоит бутылка и сколько стоит пробка?

47. Катя живёт на четвёртом этаже, а Оля – на втором. Поднимаясь на четвёртый этаж, Катя преодолевает 60 ступенек. Сколько ступенек надо пройти Оле, чтобы подняться на второй этаж?

48. Математик написал на листке двузначное число. Когда он перевернул листок вверх ногами, число уменьшилось на 75. Какое число было написано?

49. Прямоугольный лист бумаги сложили пополам 6 раз. На сложенном листе, не на сгибах, сделали 2 дырки. Сколько дырок будет на листе, если его развернуть?

50. Два отца и два сына поймали трёх зайцев: каждый по одному.

Как такое возможно?

51. Собеседник предлагает вам задумать любое трёхзначное число. Потом он просит продублировать его, чтобы получилось шестизначное число. Например, вы задумали число 389, продублировав его, получаете шестизначное число – 389 389; или 546 – 546 546 и т. п.

Далее собеседник предлагает вам это шестизначное число разделить на 13. «Вдруг получится без остатка», – говорит он. Вы производите деление с помощью калькулятора (можно и без него) и действительно ваше число делится на 13 без остатка. Далее он предлагает вам получившийся результат разделить на 11. Вы делите, и опять получается без остатка. И, наконец, собеседник просит вас разделить получившийся результат на 7. Деление не только проходит без остатка, но и даёт в результате то самое трёхзначное число, которое вы произвольно выбрали сначала. Каким образом это происходит?

52. Разделите фигуру, состоящую из трёх одинаковых квадратов, на четыре равные части (рис. 50):

53. Сто школьников одновременно изучали английский и немецкий языки. По окончании курсов они сдавали экзамен, который показал, что 10 школьников не освоили ни тот, ни другой язык. Из оставшихся немецкий сдали 75 человек, а 83 выдержали экзамен по английскому. Сколько экзаменовавшихся владеет обоими языками?

54. Каким образом из кружки, ковшика, кастрюли и любой другой посуды правильной цилиндрической формы, наполненной до краёв водой, отлить ровно половину, не используя никаких измерительных приборов?

55. Часовая и минутная стрелки иногда совпадают, например в 12 ч или в 24 ч. Сколько раз они совпадут между 6 ч утра одного дня и 10 ч вечера другого дня?

56. Теплоход доплывает от Нижнего Новгорода до Астрахани за 5 суток, обратный путь он проделывает с той же скоростью за 7 суток. За сколько суток от Нижнего Новгорода до Астрахани доплывёт плот?

57. Три курицы несут три яйца за три дня. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

58. Как написать число 100 с помощью пяти единиц и знаков действий?

59. Давайте подсчитаем, сколько дней в году мы работаем, а сколько отдыхаем. В году 365 дней. Восемь часов в день уходит у каждого на сон – это 122 дня ежегодно. Вычитаем, остаётся 243 дня. Восемь часов в день занимает отдых после работы, это тоже 122 дня в год. Вычитаем, остаётся 121 день. По выходным, которых в году 52, никто не работает. Вычитаем, остаётся 69 дней. Далее, четырёхнедельный отпуск – это 28 дней. Вычитаем, остаётся 41 день. Примерно 11 дней в году занимают различные праздники. Вычитаем, остаётся 30 дней. Таким образом, мы работаем всего один месяц в году.

60. В один ряд стоят три наполненных водой стакана и три пустых (рис. 51). Каким образом сделать так, чтобы наполненные и пустые стаканы чередовались, если можно взять в руки только один стакан?

61. Если 1 рабочий может построить дом за 12 дней, то 12 рабочих построят его за 1 день. Следовательно, 288 рабочих построят дом за 1 ч, 17 280 рабочих построят его за 1 мин, а 1 036 800 рабочих смогут построить дом за 1 с. Верно ли это рассуждение? Если нет, то в чём заключается ошибка?

62. Какое слово всегда пишется неправильно? (Задача-шутка.)

63. «Ручаюсь, – сказал продавец в зоомагазине, – что этот попугай будет повторять любое услышанное слово». Обрадованный покупатель приобрёл чудо-птицу, но, придя домой, обнаружил, что попугай нем, как рыба. Тем не менее, продавец не лгал. Как такое возможно? (Задача-шутка.)

64. В комнате есть свеча и керосиновая лампа. Что вы зажжёте первым, когда вечером войдёте в эту комнату?

65. Пётр сильно устал и лёг спать в 7 ч вечера, поставив механический будильник на 9 ч утра. Сколько часов ему удастся поспать?

66. Отрицание истинного предложения является ложным предложением, а отрицание ложного – истинным. Однако следующий пример говорит, что это как будто, не всегда так. Предложение: «Это предложение содержит шесть слов», – является ложным, поскольку в нём не шесть, а пять слов. Но отрицание: – «Это предложение не содержит шесть слов», – также является ложным, так как в нём как раз шесть слов. Как разрешить это недоразумение?

67. Сколько существует восьмизначных чисел, сумма цифр которых равна двум?

68. Периметр фигуры, составленной из квадратов, равен шести (рис. 52). Чему равна её площадь?

69. Чему равна разность куба суммы квадратов чисел 2 и 3 и квадрата суммы их кубов?

70. Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

71. Со временем человек обязательно побывает на Марсе. Саша Иванов – это человек. Следовательно, Саша Иванов со временем обязательно побывает на Марсе. Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нём допущена?

72. Для получения оранжевой краски надо смешать 6 частей жёлтой краски с 2 частями красной. Есть 3 г жёлтой краски и 3 г красной.

Сколько граммов оранжевой краски можно получить в этом случае?

73. Из 12 спичек составлено 4 квадрата (рис. 53). Каким образом надо убрать 2 спички, чтобы осталось 2 квадрата?

74. Какой знак надо поставить между числами 5 и 6, чтобы получившееся число было больше 5, но меньше 6?

75. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время матча один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?

76. – Сколько лет твоему отцу? – спрашивают мальчика.

– Столько же, сколько и мне, – невозмутимо отвечает он.

– Как такое возможно?

– Очень просто: мой отец стал моим отцом только тогда, когда я родился, ведь до моего рождения он не был моим отцом, значит моему отцу столько же лет, сколько и мне.

Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нём допущена?

77. В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

78. Пётр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Какой день был вчера?

79. Трёхзначное число записали цифрами, а потом – словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число?

80. В равенстве, составленном из спичек: , допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным?

81. Во сколько раз увеличится трёхзначное число, если к нему приписать такое же число?

82. Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни одного дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, то было бы время. Следовательно, если бы не было времени, оно было бы. В чём заключается причина данного недоразумения?

83. В каждой из двух корзин по 12 яблок. Настя взяла несколько яблок из первой корзины, а Маша взяла из второй столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?

84. У одного фермера 8 свиней: 3 розовые, 4 бурые и 1 чёрная.

Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдётся, по крайней мере, ещё одна свинья такой же масти, как и её собственная? (Задача-шутка.)

85. Единственный сын отца сапожника – плотник. Кем приходится сапожник плотнику?

86. Если 1 рабочий может построить дом за 5 дней, значит, 5 рабочих построят его за 1 день. Следовательно, если 1 корабль пересекает Атлантический океан за 5 дней, то 5 кораблей пересекут его за 1 день. Верно ли это утверждение? Если нет, то в чём заключается допущенная в нём ошибка?

87. Возвращаясь из школы, Петя и Саша зашли в магазин, где они увидели большие весы.

– Давай взвесим наши портфели, – предложил Петя.

Весы показали, что Петин портфель весит 2 кг, а вес Сашиного портфеля оказался равным 3 кг. Когда мальчики взвесили два портфеля вместе, весы показали 6 кг.

– Как же так? – удивился Петя. – Ведь 2 плюс 3 не равно 6.

– Ты что, не видишь? – ответил ему Саша. – У весов сдвинута стрелка.

Каков вес портфелей на самом деле?

88. Как разместить 6 кружочков на плоскости таким образом, чтобы получилось 3 ряда по 3 кружочка в каждом ряду?

89. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

90. Как от куска материи в 2/3 м отрезать 1/2 м без помощи каких-либо измерительных приборов?

91. Часто говорят, что композитором, или художником, или писателем, или учёным надо родиться. Верно ли это? Действительно ли композитором (художником, писателем, учёным) надо родиться?

(Задача-шутка.)

92. Для того чтобы видеть, совсем не обязательно иметь глаза.

Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. А поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, то оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения. Верно ли это утверждение? Если нет, то какая ошибка в нём допущена?

93. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать только на вопросы «да» и «нет». Сколько вопросов ему надо задать, чтобы узнать его возраст?

94. Скажите, сколько кубиков изображено на рисунке 54:

95. Три телёнка – сколько ног? (Задача-шутка.)

96. Один человек, попавший в неволю, рассказывает следующее: «Моя темница находилась в верхней части замка. После многодневных усилий мне удалось выломать один из прутьев в узком окне. В образовавшееся отверстие можно было пролезть, но расстояние до земли было слишком велико, чтобы просто спрыгнуть вниз. В углу темницы я обнаружил забытую кем-то верёвку. Однако она оказалась слишком короткой, чтобы можно было спуститься по ней. Тогда я вспомнил, как один мудрец удлинял слишком короткое для него одеяло, обрезав часть его снизу и пришив её сверху. Поэтому я поспешил разделить верёвку пополам и снова связать две образовавшиеся части. Тогда она стала достаточно длинной, и я благополучно спустился по ней вниз». Каким образом рассказчику удалось это сделать?

97. Собеседник просит вас задумать любое трёхзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось ещё одно трёхзначное число. Например, 528 – 825, 439 – 934 и т. п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

98. Семеро шли – семь рублей нашли. Если бы не семеро, а трое пошли, то много бы нашли? (Задача-шутка.)

99. Разделите рисунок, состоящий из семи кружочков, тремя прямыми линиями на семь частей таким образом, чтобы в каждой части находился один кружочек:

100. Земной шар стянули обручем по экватору. Потом длину обруча увеличили на 10 м. При этом между поверхностью Земного шара и обручем образовался небольшой зазор. Сможет ли человек пролезть в этот зазор? Длина земного экватора приблизительно равна 40 000 км.

Текущая страница: 2 (всего у книги 5 страниц) [доступный отрывок для чтения: 1 страниц]

120. Для получения оранжевой краски надо смешать 6 частей желтой краски с 2 частями красной. Есть 3 гр. желтой краски и 3 гр. красной. Сколько граммов оранжевой краски можно получить в этом случае?

121. На вопрос, сколько ему лет, Вадим отвечал, что через 13 лет ему будет в четыре раза больше лет, чем 2 года назад. Сколько ему лет?

122. Из 12 спичек составлено 4 квадрата. Каким образом надо убрать две спички, чтобы осталось 2 квадрата?

123. Какой знак надо поставить между числами 5 и 6, чтобы получившееся число было больше 5, но меньше 6?

5 < 5? 6 < 6

124. В футбольной команде 11 игроков. Их средний возраст равен 22 годам. Во время мачта один из игроков выбыл. При этом средний возраст команды стал равен 21 году. Сколько лет выбывшему игроку?

125. – Сколько лет твоему отцу? – спрашивают мальчика.

– Столько же, сколько и мне, – невозмутимо отвечает он.

– Как такое возможно?

– Очень просто: мой отец стал моим отцом только тогда, когда я родился, ведь до моего рождения он не был моим отцом, значит моему отцу столько же лет, сколько и мне.

Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

126. В мешке 24 кг гвоздей. Каким образом можно на чашечных весах без гирь отмерить 9 кг гвоздей?

127. Петр лгал с понедельника по среду и говорил правду в другие дни, а Иван лгал с четверга по субботу и говорил правду в другие дни. Однажды они одинаково сказали: «Вчера был один из дней, когда я лгу». Какой день был вчера?

128. Трехзначное число записали цифрами, а потом – словами. Получилось, что все цифры в этом числе разные и возрастают слева направо, а все слова начинаются с одной и той же буквы. Какое это число?

129. В равенстве, составленном из спичек, допущена ошибка. Каким образом надо переложить одну спичку, чтобы равенство стало верным?

130. Во сколько раз увеличится трехзначное число, если к нему приписать такое же число?

131. Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни одного дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, то было бы время. Следовательно, если бы не было времени, оно было бы. В чем заключается причина данного недоразумения?

132. В каждой из двух корзин 12 яблок. Настя взяла несколько яблок из первой корзины, а Маша взяла из второй столько, сколько осталось в первой. Сколько яблок осталось в двух корзинах вместе?

133. У одного фермера восемь свиней: три розовые, четыре бурые и одна черная. Сколько свиней могут сказать, что в этом небольшом стаде найдется, по крайней мере, еще одна свинья такой же масти, как и ее собственная? (Задача-шутка).

134. На двух чашах рычажных весов находятся два одинаковых ведра, наполненные водой. Уровень воды в них одинаков. В одном ведре плавает деревянный брусок. Будут ли весы находиться в равновесии?

135. Если один рабочий может построить дом за 5 дней, значит, 5 рабочих построят его за один день. Следовательно, если один корабль пересекает Атлантический океан за 5 дней, то 5 кораблей пересекут его за один день. Верно ли это утверждение? Если нет, то в чем заключается допущенная в нем ошибка?

136. Возвращаясь из школы, Петя и Саша зашли в магазин, где они увидели большие весы.

– Давай взвесим наши портфели, – предложил Петя.

Весы показали, что Петин портфель весит 2 кг, а вес Сашиного портфеля оказался равным 3 кг. Когда мальчики взвесили два портфеля вместе, весы показали 6 кг.

– Как же так, – удивился Петя, – ведь 2 + 3 не равно 6.

– Ты что не видишь? – ответил ему Саша, – у весов сдвинута стрелка.

Каков вес портфелей на самом деле?

137. Как разместить шесть кружочков на плоскости таким образом, чтобы получилось три ряда по три кружочка в каждом ряду?

138. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшилась вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

139. Как от куска материи в 2/3 м отрезать полметра без помощи каких-либо измерительных приборов?

140. На прямоугольном листе бумаги начерчено 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга (см. рисунок). Прямоугольник разрезают по прямой АВ, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. После этого сдвигают обе половины так, как показано на рисунке. Как то ни удивительно, но вместо 13 палочек будет 12. Куда и каким образом исчезла одна палочка?

141. Часто говорят, что композитором или художником, или писателем, или ученым надо родиться. Верно ли это? Действительно ли композитором (художником, писателем, ученым) надо родиться? (Задача-шутка).

142. Для того, чтобы видеть, совсем не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. А поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, то оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения. Верно ли это утверждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

143. Попугай прожил меньше 100 лет и умеет отвечать только на вопросы «да» и «нет». Сколько вопросов ему надо задать, чтобы узнать его возраст?

144. Сколько кубиков изображено на этом рисунке?

145. Три теленка – сколько ног? (Задача-шутка).

146. Один человек, попавший в неволю, рассказывает следующее. «Моя темница находилась в верхней части замка. После многодневных усилий мне удалось выломать один из прутьев в узком окне. В образовавшееся отверстие можно было пролезть, но расстояние до земли не оставляло никаких надежд просто спрыгнуть вниз. В углу темницы я обнаружил забытую кем-то веревку. Однако она оказалась слишком короткой, чтобы можно было спуститься по ней. Тогда я вспомнил, как один мудрец удлинял слишком короткое для него одеяло, обрезав часть его снизу и пришив ее сверху. Поэтому я поспешил разделить веревку пополам и снова связать две образовавшиеся части. Тогда она стала достаточно длинной, и я благополучно спустился по ней вниз». Каким образом рассказчику удалось это сделать?

147. Собеседник просит Вас задумать любое трехзначное число, а потом предлагает записать его цифры в обратном порядке, чтобы получилось еще одно трехзначное число. Например, 528–825, 439–934 и т. п. Далее он просит от большего числа отнять меньшее и сообщить ему последнюю цифру разности. После этого он называет разность. Как он это делает?

148. Семеро шли – семь рублей нашли. Если бы не семеро, а трое пошли, то много бы нашли? (Задача-шутка).

149. Как разделить рисунок, состоящий из семи кружочков, тремя прямыми линиями на семь частей таким образом, чтобы в каждой части находился один кружочек?

150. Земной шар стянули обручем по экватору. Потом длину обруча увеличили на 10 м. При этом между поверхностью Земного шара и обручем образовался небольшой зазор.

Сможет ли человек пролезть в этот зазор? (Длина земного экватора приблизительно равна 40 000 км).

151. У портного есть кусок материи в 16 метров длиной, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

152. Из 12 спичек построено четыре равных квадрата. Как переложить три спички таким образом, чтобы получилось три равных квадрата?

153. Колесо с лопастями установлено около дна реки, причем оно может свободно вращаться. Если течение реки направлено слева направо, то в какую сторону будет вращаться колесо? (См. рисунок).

154. В коммунальной квартире жилец Иванов положил в общую плиту 3 полена своих дров, а жилец Сидоров – 5 поленьев. Жилец Петров, у которого не было своих дров, получил от обоих соседей разрешение приготовить свой обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседям 8 рублей. Каким образом они должны поделить между собой эту плату?

155. Всем хорошо известно, что брошенный в спокойную воду (лужи, пруда, озера) камень порождает на ее поверхности расходящиеся в разные стороны круги. Но каким будет это явление в движущейся или текучей воде? Будут ли волны от камня, брошенного в воду быстрой реки, иметь форму круга, или же они будут вытягиваться в направлении течения и принимать вид эллипсов?

156. Какое число (не считая нуля) делится на все числа без остатка?

157. Каким образом можно расставить 24 человека в шесть рядов, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек?

158. Отцу 32 года, а сыну 7 лет. Через сколько лет отец будет в шесть раз старше сына?

159. Если в вашем шкафу лежит вперемешку 10 пар серых носков и 10 пар черных носков, то в полной темноте, на ощупь, из шкафа нужно извлечь всего три носка, чтобы с гарантией получить совпадающую пару. Если в вашем шкафу лежит вперемешку 10 пар серых перчаток и 10 пар черных перчаток, то сколько перчаток надо извлечь из шкафа в полной темноте, на ощупь, чтобы с гарантией получить совпадающую пару?

160. Как известно, все физические тела состоят из молекул, а молекулы – из атомов, которые представляют собой невообразимо малые частицы (если миллиметр на вашей линейке мысленно разделить на миллион частей, то одна миллионная часть миллиметра и будет примерным размером атома). Теперь представим себе, что тетрадную страницу разрывают пополам, затем одну из половинок снова делят пополам, потом одну из четвертинок опять делят надвое и т. д. Сколько раз надо будет таким образом разделить тетрадную страницу, чтобы она стала размером с атом? (Предположим, что тетрадная страничка весит 1 г, а вес атома – 10 -24 г).

161. Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик, сделанный из того же материала, если все его размеры в два раза меньше?

162. Возможно ли по фотографии башни определить ее высоту? Если возможно, то каким образом это сделать? (Фотография, конечно же, должна быть профессиональной, т. е. не искажающей истинных пропорций изображенных на ней объектов).

163. Каким образом четырьмя единицами написать возможно большее число, но при этом не использовать никаких знаков действий?

164. Иногда говорят, что трехногий стол никогда не качается, даже если его ножки неравной длины. Верно ли это утверждение?

165. Когда мы находимся в открытом море, то всюду вокруг себя можем наблюдать линию горизонта. Как она расположена: на уровне наших глаз, выше или ниже его?

166. Какое наименьшее целое положительное число можно написать двумя цифрами, при этом не используя никаких знаков действий?

167. Какой величины покажется угол в 2º, если его рассматривать в лупу, увеличивающую в четыре раза?

168. Земной шар стянут по экватору стальной проволокой. Если ее охладить на 1º, она укоротится и врежется в землю. Как велико будет это углубление? (Охлаждаясь на 1º, стальная проволока укорачивается на 1/100 000 своей длины; длина земного экватора ≈ 40 000 км).

169. Каким образом возможно определить величину острого угла (на чертеже), при этом не делая никаких измерений?

170. Как выразить число 1000 восемью одинаковыми цифрами? (Можно использовать знаки действий).

171. Один отец дал своему сыну 500 рублей, а другой своему – 400 рублей. Однако, оказалось, что оба сына вместе увеличили количество своих денег только на 500 рублей. Как такое возможно?

172. Какая из двух прямоугольных коробок с квадратным основанием более вместительна – правая, широкая или левая, которая втрое выше, но вдвое уже, чем правая? (См. рисунок).

173. Можете ли вы найти три последовательных (следующих в натуральном ряду чисел одно за другим) числа, которые отличаются таким свойством, что квадрат среднего числа на единицу больше произведения двух остальных, крайних чисел.

174. Косточка вишни окружена слоем мякоти, который имеет такую же толщину, как и сама косточка. Во сколько раз объем мякоти вишни больше объема ее косточки?

175. Всем хорошо известно, что луна и солнце, наблюдаемые у горизонта, имеют гораздо большую величину, чем когда они висят высоко в небе, находясь в зените. Это связано с тем, что тогда, когда мы наблюдаем луну или солнце у горизонта, они находятся ближе к земле и поэтому выглядят крупнее. Верно ли это рассуждение?

176. Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, вы перегибаете его по диагоналям и убеждаетесь, что края этого куска материи совпадают. Достаточна ли такая проверка?

177. Каким образом можно выразить единицу, при этом употребив все десять цифр и знаки математических действий?

178. Собеседник предлагает вам задумать некое число, потом проделать с ним какую-либо последовательность математических действий и сообщить ему результат, после чего называет задуманное число. Как он это делает?

179. Число 24 очень просто выразить тремя восьмерками: 8 + 8 + 8, а число 30 – тремя пятерками: 5 × 5 + 5. Можно ли выразить числа 24 и 30 тремя другими одинаковыми цифрами (не восьмерками и не пятерками соответственно), при этом используя знаки математических действий?

180. Как тремя любыми цифрами записать возможно большее число, не используя при этом никаких знаков действий?

181. Предположим, что вам надо изготовить книжную полку длиной в 1 м и шириной в 20 см, но у вас есть доска менее длинная, но более широкая – 75 см в длину и 30 см в ширину. Из нее, конечно же можно сделать доску требуемых размеров, отпилив вдоль полоску шириной в 10 см и, распилив ее на три равные части по 25 см, двумя из них нарастить доску посредством склеивания (см. рисунок).

Такое решение задачи является неэкономным по числу операций (три отпиливания и три склеивания), а, кроме того, книжная полка была бы слишком непрочной в том месте, где маленькие планки приклеены к основной доске.

Как из имеющейся доски в 75 см длиной и 30 см шириной изготовить книжную полку требуемых размеров большей прочности с помощью меньшего числа операций?

182. Каким образом возможно построить прямой угол, при этом не производя никаких измерений с помощью специальных инструментов?

183. Собеседник предлагает вам задумать любое двузначное число и продублировать его два раза таким образом, чтобы получилось шестизначное число. Например, 27 – 272727 или 78 – 787878. Далее он, не зная, разумеется, вашего шестизначного числа, предлагает вам разделить его на 37 и гарантирует, что деление пройдет без остатка. Вы производите деление, и, действительно, остатка не имеется. Далее он предлагает разделить получившийся результат на 13 и опять уверяет вас, что остатка не будет. Вы делите и вновь без остатка. Потом он точно так же просит вас разделить результат на 7 и после этого – еще на 3. Окончательное деление снова не дает остатка и, более того, вы получаете задуманное вами двузначное число, которое собеседнику было неизвестно. Каким образом он проделывает этот удивительный, на первый взгляд, фокус?

184. В витрине табачного магазина выставлена огромная папироса, которая в 20 раз длиннее и в 20 раз толще обыкновенной. Если для набивки обыкновенной папиросы требуется полграмма табака, то какое количество табака необходимо, чтобы набить им папиросу, выставленную в витрине магазина?

185. Каким образом разделить циферблат часов (см. рисунок) на шесть частей (любой формы), чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке была одной и той же.

186. Перед вами три коробки кубической формы. Первая из них имеет ребро размером 6 см, вторая – 8 см, а третья – 9 см. Что больше: объем первых двух коробок вместе взятых или объем третьей коробки?

187. Во сколько примерно раз двухметровый великан тяжелее метрового карлика?

188. Каким образом, не пользуясь измерительными приборами, определить величину угла, образованного часовой и минутной стрелками, когда часы показывают семь часов?

189. Из четырех спичек собрано изображение совка, в котором находится мусор. Каким образом переложить две спички, чтобы мусора в совке не было, а вернее, чтобы он был вне совка?

190. Самолет преодолевает расстояние от одного города до другого за 1 ч. 20 мин. Однако на обратный перелет он затрачивает только 80 мин. Чем это можно объяснить? (Задача-шутка).

191. На рынке продаются два арбуза разных размеров. Один из них в полтора раза шире другого, а стоит он в два раза дороже его. Какой из этих арбузов выгоднее купить и почему?

192. Докажем, что неинтересных людей не существует. Будем рассуждать от противного: допустим, неинтересные люди есть. Соберем их мысленно вместе и выделим среди них самого большого по росту, или самого маленького по весу, или какого-то другого «самого…». Этот выделяющийся среди других человек, несомненно, будет интересен своей нестандартностью, поэтому его нельзя назвать неинтересным и надо исключить из группы неинтересных людей. Далее среди оставшихся неинтересных людей опять выделим какого-нибудь «самого…» и исключим его. И так до тех пор, пока не останется только один человек, которого уже невозможно ни с кем сравнить. Но именно этим он и будет интересен. Таким образом, неинтересных людей не существует. Верно ли это рассуждение? Если нет, то какая ошибка в нем допущена?

193. Вылетев из Петербурга, вертолет пролетел строго на север 500 км, потом повернул на восток и пролетел еще 500 км, далее, повернув на юг, пролетел еще 500 км, и, наконец, повернув на запад, пролетел последние 500 км. Во время полета вертолет находился на одной и той же высоте. Где он приземлился: там же, откуда вылетел или севернее (южнее, западнее, восточнее) этого места?

194. Какой высоты будет столбик, составленный из всех миллиметровых кубиков, заключенных в одном кубическом метре?

195. Часовая и минутная стрелки расположены на одинаковом расстоянии от цифры VI. В котором часу это могло произойти?

196. Из 12 спичек построена фигура креста, площадь которого равна пяти «спичечным» квадратам. Как без помощи измерительных приборов переложить спички таким образом, чтобы новая фигура охватывала площадь, равную только четырем спичечным квадратам?

197. Каким образом увеличить расстояние между двумя точками в три раза, если под рукой нет линейки, а есть только циркуль?

198. Первая кружка вдвое выше второй, но вторая вдвое шире первой. Какая из этих кружек вместительнее?

199. Собеседник просит вас задумать любое трехзначное число, после чего моментально умножает его на 999. Например, вы задумали число 147, но уже через мгновение собеседник сообщает вам результат умножения этого числа на 999, а именно – 146 853. Вы проверяете на бумаге или калькуляторе – все правильно, действительно будет 146 853. Вы просите его повторить эту операцию, называя ему другое трехзначное число, например, 276. Он так же стремительно умножает его на 999 и сообщает вам результат – 275 724. Вы проверяете – все верно. С неизменной легкостью и быстротой собеседник умножает любые предложенные ему трехзначные числа на 999, ни разу не ошибаясь и объясняя это своими «математическими способностями». Вы, конечно же, догадываетесь, что дело здесь не в способностях, а в чем-то другом. В чем же заключается секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999?

200. Улитка решила забраться на дерево, высота которого равна 15 метрам. Каждый день она поднималась на 5 метров, но каждую ночь, во время сна, спускалась вниз на 4 метра. Через сколько суток после начала своего путешествия она достигнет вершины дерева?

Ответы и комментарии

1. Такое место на земном шаре, конечно же, есть. Это южный географический полюс. В какую бы сторону от него ни идти, направление будет только одно – на север, ведь вокруг него всюду север. Поэтому стрелка компаса, помещенного на южный полюс, обоими своими концами будет указывать на север. Точно так же стрелка компаса, помещенного на северный географический полюс Земли, двумя своими концами будет указывать на юг.

2. Один из пяти человек должен забрать свое яблоко вместе с корзиной. Эффект этой не очень серьезной задачи основан на двусмысленности выражения «яблоко осталось лежать в корзине». Ведь его можно понимать и в том смысле, что оно никому не досталось, и в том, что оно просто не покидало место своего первоначального пребывания, а это совершенно разные вещи.

3. Это можно сделать различными способами:

4. Крестьянин должен, перевезя козу, вернуться и взять волка, которого он тоже перевозит на другой берег. После этого он оставляет его там, а козу забирает и везет обратно. Здесь он оставляет козу и перевозит к волку капусту, после чего возвращается и, наконец, переправляет на другой берег козу.

5. Из первого мешка надо вытащить одну монету, из второго – две, из третьего – три и т. д. (из десятого мешка – все десять монет). Далее следует все эти монеты вместе один раз взвесить. Если бы среди них не было фальшивых монет, т. е. все они были бы весом по 10 гр., то общий их вес составил бы 550 гр. Но поскольку среди взвешиваемых монет есть фальшивые (по 11 гр.), то общий их вес будет больше 550 гр. Причем, если он окажется 551 гр., то фальшивые монеты находятся в первом мешке, ведь из него мы взяли одну монету, которая и дала лишний один грамм. Если общий вес будет 552 гр., значит, фальшивые монеты находятся во втором мешке, ведь из него мы взяли две монеты. Если общий вес будет 553 гр., значит, фальшивые монеты находятся в третьем мешке и т. д. Таким образом, с помощью только одного взвешивания можно точно установить, в каком мешке находятся фальшивые монеты.

6. Надо взять печенье из банки с надписью «Овсяное печенье» (можно – и из любой другой). Так как банка надписана неправильно, то это будет песочное печенье или шоколадное. Допустим, вы достали песочное. После этого надо поменять местами этикетки «Овсяное печенье» и «Песочное печенье». А поскольку по условию все этикетки перепутаны, то теперь в банке с надписью «Шоколадное печенье» находится овсяное, а в банке с надписью «Овсяное печенье» находится шоколадное, значит надо поменять местами и эти две этикетки.

7. На первый взгляд может показаться, что человек выпьет последнюю таблетку через полтора часа, ведь это именно три раза по полчаса. На самом же деле, он выпьет последнюю таблетку не через полтора часа, а через час. Представим себе, что он выпивает первую таблетку. Проходит полчаса. Он выпивает вторую таблетку. Проходит еще полчаса. Он выпивает третью таблетку. Стало быть, человек выпьет последнюю таблетку через час после начала лечения.

8. Число 66 надо всего лишь перевернуть «кверху ногами». Получится 99, а это и есть 66, увеличенное в полтора раза.

9. Петр завел свои часы и перед уходом запомнил их показание, которое, допустим, равно а . Придя к знакомому, он немедленно узнал у него время, которое равно b . Перед уходом он опять запомнил время по часам знакомого, которое на этот раз было с . Придя домой, Петр заметил, что его часы показывают d . Разность (d – a) – это время его отсутствия дома. Разность (c – b) – это время, проведенное им в гостях. Разность первого и второго времени (d – a) – (c – b) – это время, потраченное на дорогу. Половина этого времени

была потрачена на обратную дорогу. Когда Петр уходил домой, часы его знакомого, как уже говорилось, показывали с . Если прибавить время, потраченное на обратную дорогу, к времени ухода домой, т. е. к с , то получится точное показание часов Петра при его возвращении домой:

10. Надо распилить все 5 звеньев одного куска и с их помощью соединить остальные 5 кусков. При этом общая стоимость работ составит 1 рубль 30 копеек, что на 20 копеек дешевле стоимости новой цепи.

11. На первый взгляд вопрос задачи выглядит бессмысленным, т. к. кажется несомненным, что все точки колеса движутся с одинаковой скоростью. Это верно для движения всех точек колеса вокруг его центра. Но в вопросе задачи речь идет об их движении в направлении поступательного движения колеса. В этом случае оказывается, что точки колеса, находящиеся в его верхней части, движутся в том же направлении, что и колесо, а точки, находящиеся в его нижней части, движутся в обратном направлении (см. рисунок). Следовательно, скорость верхних точек колеса складывается со скоростью движения колеса, а скорость его нижних точек вычитается из нее. Таким образом, в направлении поступательного движения колеса его верхние точки движутся быстрее, а нижние медленнее.

12. На первый взгляд кажется, что такое рассуждение совершенно верно: если один стакан наливается из полного самовара за полминуты, значит, все 30 стаканов выльются из него за 15 минут. Но это верно только в математическом отношении, а в данном случае речь идет о физическом явлении со своими закономерностями. Причем даже если ничего не знать о них, то все равно вполне понятно (даже на основе повседневного жизненного опыта), что свободно вытекающая (откуда угодно) вода выливается не с одной и той же скоростью, не равномерно. Сначала, когда некий резервуар полон водой, ее давление велико, и она вытекает быстрее. По мере опорожнения емкости, давление воды в ней падает, и она начинает течь медленнее. Таким образом, первые стаканы воды выливаются из самовара под большим напором, а остальные под меньшим, поэтому сначала стаканы наполняются быстрее, а потом медленнее. Следовательно, все 30 стаканов выльются из самовара при непрерывно открытом кране не за 15 минут, а за больший промежуток времени.

13. Может показаться, что глубже разрыхлит землю борона с 60 зубьями. Однако это не так. Вспомним, что чем больше площадь опоры какого-либо тела, тем меньшее давление оно оказывает на находящуюся под этим телом поверхность. (По этой причине, например, идущий по снежному сугробу человек проваливается в него каждой ногой, а лыжник не проваливается, свободно скользя по его поверхности). У бороны с 60 зубьями площадь опоры больше, чем у бороны с 20 зубьями, значит, 60 зубьев с меньшей силой давят на землю, чем 20 зубьев. Значит, глубже разрыхлит землю борона с 20 зубьями. (См. также задачу 26).

14. Если начертить подкову в виде дугообразной линии, то разрезать ее двумя прямыми линиями более чем на пять частей, не удастся. Если же нарисовать подкову такой, какова она на самом деле, т. е. имеющей ширину, то задача (может быть и не с первой попытки) является выполнимой.

15. Хозяин дома распилил серебряный брусок в трех местах, разделив его на 4 куска, длина которых была соответственно 1, 2, 4 и 8 дециметров. В первый день он отдал работнику самый короткий кусок. На второй день он забрал у него этот кусок и дал ему двухдециметровый. На третий день он вновь дал ему однодециметровый кусок. На четвертый день хозяин забрал у рабочего однодециметровый и двухдециметровый куски и дал ему взамен четырехдециметровый кусок и так далее.

16. Сначала надо взвесить 16 монет, положив на каждую чашу весов по 8 штук. Если какая-то чаша перевесит, значит в ней и находится более тяжелая монета. Если чаши уравновесятся, тогда искомая монета среди тех 8, которые не были взвешены. Далее из кучи, в которой находится тяжелая монета, надо взять 6 штук и, разбив их по 3, опять взвесить. Если какая-то из чаш весов перевесит, значит среди 3 монет, находящихся в ней, и есть искомая монета. Если чаши уравновесятся, значит, она – среди двух не взвешенных. И, наконец, надо взвесить или эти две оставшиеся монеты на двух чашах весов, или любые две из тех трех, среди которых находится более тяжелая. Во втором случае, если одна из чаш весов перевесит, то тяжелая монета – в ней, а если установится равновесие, то искомая монета – оставшаяся.

17. Из шкафа нужно достать только три носка.

18. Часы пробьют двенадцать часов за шестьдесят шесть секунд. Когда часы бьют шесть часов, то от первого удара до последнего проходит пять интервалов. Интервал составляет шесть секунд (одну пятую часть от тридцати). Когда часы бьют двенадцать, то от первого удара до последнего проходит одиннадцать интервалов. Так как длина интервала равна шести секундам, то для того, чтобы пробить двенадцать, часам требуется шестьдесят шесть секунд (11 × 6 = 66).

19. Пруд будет покрыт листьями лилии наполовину на 99 день. По условию число листьев каждый день удваивается, и если на 99 день пруд покрыт листьями наполовину, то на следующий день и вторая половина пруда будет покрыта листьями лилии, т. е. полностью пруд покроется ими через 100 дней.

20. Если полторы курицы несут полтора яйца в полтора дня, то за то же самое время (т. е. за полтора дня) три курицы снесут три яйца, а одна курица – одно яйцо. Курица, несущаяся в полтора раза лучше, снесет за то же время (за полтора дня) полтора яйца, т. е. одно яйцо в день. Значит за 15 дней (полторы декады) эта курица снесет полтора десятка яиц. Таким образом, ответ на поставленный вопрос, – одна курица.

21. Поднимаясь на пятый этаж, пассажирский лифт преодолевает четыре пролета, а грузовой минует два пролета до третьего этажа. Таким образом, путь, пройденный пассажирским лифтом, в два раза больше пути, пройденного грузовым. Поскольку пассажирский лифт идет в два раза быстрее, чем грузовой, то они достигнут своих этажей одновременно.

22. Для решения этой задачи надо составить уравнение.

Количество гусей в стае – это х. «Вот если бы нас было столько, сколько сейчас (т. е. х), – сказали гуси, – да еще столько (т. е. х), да еще пол-столько (т. е. ), да еще четверть столько (т. е. ), да еще ты (т. е. один гусь), вот тогда нас было бы 100 гусей». Получается: .

Произведем сложение в левой части равенства:

В стае летело 36 гусей.

24. Для решения этой задачи надо составить уравнение. Обозначим число зверей как х, а число птиц – как у. В зоопарке 30 голов, т. е. х + у = 30, и тогда х = 30 – у. В зоопарке сто ног, т. е. 4 х + 2 у = 100. Подставим в это равенство выражение х = 30 – у. Получим: 4 (30 – у) + 2 у = 100.

Преобразуем: 120 – 4 у + 2 у = 100 или 120 – 2 у = 100, или 20 = 2 у. Значит, у = 10, т. е. в зоопарке 10 птиц. А зверей в зоопарке: 30–10 = 20.

25. Ошибка заключается в возведении каждой части равенства (– 2 = 2) в квадрат. Создается видимость, что над каждой частью равенства совершается одна и та же операция (возведение в квадрат), на самом же деле над каждой частью равенства совершаются различные операции, ведь левую часть мы умножаем на – 2, а правую умножаем на 2.

26. На первый взгляд кажется, что лежать, раздевшись, на голой каменистой поверхности, как на мягкой перине, совершенно невозможно. Однако это не так. Вспомним, что чем больше площадь опоры какого-либо тела на некую поверхность, тем меньшее давление оно оказывает на эту поверхность. Перина кажется нам мягкой, а деревянный пол жестким, потому, что площадь соприкосновения нашего тела с периной намного больше, чем с полом, в силу чего тело намного меньше давит на перину, чем на пол. Следовательно, если устроить голую каменистую поверхность таким образом, чтобы площадь ее соприкосновения с нашим телом была, по возможности, большой, то эта поверхность будет для нас такой же мягкой, как и перина. Для этого можно в каменистой поверхности сделать выступы и углубления, соответствующие рельефу той части нашего тела, которой мы будем лежать на этой поверхности. Но подобную процедуру, по всей видимости, совершить непросто. Можно сделать иначе: лечь, раздевшись, на вязкую, не застывшую глиняную или гипсовую, или цементную и т. п. поверхность на несколько секунд и встать. При этом данная поверхность точно отразит рельеф нашего тела. Когда она застынет и станет жесткой, как камень, можно лечь в образованные в ней нашим телом формы. Площадь соприкосновения тела с поверхностью в этом случае будет велика, его давление на нее будет, наоборот, минимальным, и на такой каменистой поверхности можно лежать точно так же, как и на мягкой перине. (См. также задачу 13).